Một trong những vấn đề chưa giải được cổ nhất của toán học cũng đồng thời là vấn đề dễ hiểu nhất. Giả thuyết yếu của Goldbach nói rằng ta có thể phân chia bất cứ số lẻ nào thành tổng của tối đa là ba số nguyên tố. Ví dụ:
35 = 19 + 13 + 3 hay 77 = 53 + 13 + 11
Nhà toán học Terence Tao của trường University of California, Los Angeles, nay đã gần hoàn tất một lời giải. Ông đã chứng minh được là mỗi số lẻ là tổng của tối đa năm số nguyên tố, và nay ông hi vọng có thể giảm từ năm xuống còn ba.
Tao cho biết rằng, bên cạnh niềm ham muốn hóa giải một trở ngại đã thách đố những trí tuệ siêu việt nhất của nhân loại qua gần ba thế kỷ, việc giải quyết được mục tiêu hấp dẫn này cũng sẽ dẫn các nhà toán học tới những ý tưởng hữu ích trong cuộc sống – ví dụ như mã hóa những dữ liệu nhạy cảm.
Giả thuyết yếu Goldbach được đề xuất bởi một nhà toán học của thế kỷ 18, Christian Goldbach. Nó là họ hàng của một phát biểu khác liên quan tới các số chẵn, có tên là Giả thuyết mạnh Goldbach, nhưng thực ra lại được xây dựng bởi cộng sự của ông, nhà toán học Leonhard Euler. Giả thuyết mạnh khẳng định rằng mỗi số chẵn lớn hơn 2 là tổng của hai số nguyên tố. Như tên gọi của chúng phản ánh, nếu giả thuyết mạnh đúng thì giả thuyết yếu cũng đúng: để phân chia mỗi số lẻ thành tổng ba số nguyên tố, ta chỉ việc trừ 3 để tạo ra một số chẵn, và áp dụng giả thuyết mạnh đối với số chẵn này.
Các nhà toán học đã kiểm chứng cả hai giả thuyết này trên máy tính cho tất cả mọi số nguyên tối đa là 19 ký tự, và họ chưa tìm thấy trường hợp nào bị sai. Hơn thế, với số càng lớn thì càng có nhiều cách để phân chia nó thành tổng của hai hoặc ba số nguyên tố. Nghĩa là giả thuyết càng dễ đúng với với những số lớn. Trong thực tế, các nhà toán học đã chứng minh rằng, giả sử tồn tại những ngoại lệ không đúng với giả thuyết mạnh, thì chúng sẽ càng hiếm với các số lớn dần tới vô cùng. Còn đối với giả thuyết yếu, một định lý cổ điển từ thập kỷ 1930 nói rằng, nếu có thì chỉ là hữu hạn một số những ngoại lệ. Nghĩa là ở những số “đủ lớn” thì sẽ không thể có ngoại lệ.
Cách làm của Tao là kết hợp kết quả kiểm chứng của máy tính ở những số “đủ nhỏ”, với kết quả lý thuyết áp dụng cho những số “đủ lớn”. Bằng việc cải thiện những tính toán với “rất nhiều bước ngoặt nhỏ”, ông nói, chúng ta sẽ thấy là hai tập số có sự chồng lấp nhau, ít ra là ở giả thuyết với năm số nguyên tố.
Tao hi vọng có thể mở rộng cách làm của mình với giả thuyết về năm số nguyên tố. Nhưng cách giải này sẽ không giúp giải được giả thuyết mạnh. Giả thuyết yếu tương đối dễ hơn, Tao nói, vì việc phân chia một số thành tổng ba số khác sẽ “có nhiều cơ hội hơn để bạn gặp may, khi toàn bộ các số thành viên là số nguyên tố”.
Vậy là, sau một phần tư thiên niên kỷ từ ngày Goldbach mất, vẫn chưa ai tìm được một chiến lược để giải giả thuyết mạnh mà ông đặt ra.
TS dịch
http://www.nature.com/news/ mathematicians-come-closer-to-solving-goldbach-s-weak-conjecture-1.10636
(Vĩnh Thuận - 16/5/2012 - Theo Tạp chí Tia Sáng -
